## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた画像には、以下の5つの数学の問題が含まれています。

(1) 関数 $y = \frac{x-2}{x+3}$ の定義域、値域、逆関数を求める。

(2) 関数 $y = x^2 - 4x$ ($x \le 2$) の定義域、値域、逆関数を求める。

(3) 極限 $\lim_{x \to 1} (\log_2 x^2 - x \log_2 (x^2 - x + 1))$ を求める。

(4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{(\ln n)^2}{e^n}$, $n \in N$ を求める。

(5) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ を求める。

今回は、問題(1)のみ解くことにします。

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2. 解き方の手順

**(1) 関数 $y = \frac{x-2}{x+3}$**

* **定義域:**

分母が0にならないように、$x+3 \neq 0$ である必要があるため、$x \neq -3$。

よって、定義域は $x \in \mathbb{R}, x \neq -3$ (または $(-\infty, -3) \cup (-3, \infty)$) 。

* **値域:**

$y = \frac{x-2}{x+3}$ を $x$ について解く。

$y(x+3) = x-2$

$yx + 3y = x - 2$

$yx - x = -2 - 3y$

$x(y-1) = -2 - 3y$

$x = \frac{-2-3y}{y-1}$

$y-1 \neq 0$ より、$y \neq 1$。

よって、値域は $y \in \mathbb{R}, y \neq 1$ (または $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$) 。

* **逆関数:**

$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \frac{-2-3x}{x-1}$

よって、逆関数は $y = \frac{-3x-2}{x-1}$ (または $y = \frac{3x+2}{1-x}$)。

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3. 最終的な答え

(1) 関数 $y = \frac{x-2}{x+3}$ について

* 定義域: $x \in \mathbb{R}, x \neq -3$

* 値域: $y \in \mathbb{R}, y \neq 1$

* 逆関数: $y = \frac{-3x-2}{x-1}$