与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を整理し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を整理し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を展開します。

$(x-1)$と$(x-7)$、$(x-3)$と$(x-5)$をそれぞれペアにして展開すると計算が楽になります。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15$

ここで、$y = x^2 - 8x$ と置くと、

$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15 = (y + 7)(y + 15) + 15$

$= y^2 + 15y + 7y + 105 + 15$

$= y^2 + 22y + 120$

ここで、$y = x^2 - 8x$ を代入します。

$(x^2 - 8x)^2 + 22(x^2 - 8x) + 120$

$= (x^4 - 16x^3 + 64x^2) + (22x^2 - 176x) + 120$

$= x^4 - 16x^3 + 86x^2 - 176x + 120$

しかし、この形では因数分解が困難です。

元の式$(y+7)(y+15)+15 = y^2 + 22y + 120$ を見て、$120 = 10*12$で、$10+12 = 22$なので、

$y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)$と因数分解できます。

$y = x^2 - 8x$ を代入して、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

または

$(x^2-8x+10)(x^2-8x+12)$