与えられた式 $a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x = a^3$, $y = b^3$ と置換すると、与えられた式は $x^2 + 26xy - 27y^2$ となる。

この式を因数分解する。

$x^2 + 26xy - 27y^2 = x^2 + 27xy - xy - 27y^2$

$= x(x + 27y) - y(x + 27y)$

$= (x - y)(x + 27y)$

ここで、$x = a^3$, $y = b^3$ を代入して元に戻すと、

$(a^3 - b^3)(a^3 + 27b^3)$ となる。

さらに、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ および $a^3 + 27b^3 = a^3 + (3b)^3 = (a+3b)(a^2-3ab+9b^2)$ を利用して、

$(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)$ となる。

3. 最終的な答え

$(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)$