与えられた3次式 $4x^3 + 4x^2 - 7x + 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $4x^3 + 4x^2 - 7x + 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて因数を見つける。

$P(x) = 4x^3 + 4x^2 - 7x + 2$ とする。

$P(1/2) = 4(1/2)^3 + 4(1/2)^2 - 7(1/2) + 2 = 4(1/8) + 4(1/4) - 7/2 + 2 = 1/2 + 1 - 7/2 + 2 = 0$.

したがって、$x = 1/2$ は解であり、$2x - 1$ は因数である。

次に、多項式除算を用いて、$4x^3 + 4x^2 - 7x + 2$ を $2x - 1$ で割る。

```

2x^2 + 3x - 2

2x - 1 | 4x^3 + 4x^2 - 7x + 2

-(4x^3 - 2x^2)

------------------

6x^2 - 7x

-(6x^2 - 3x)

------------------

-4x + 2

-(-4x + 2)

------------------

0

```

よって、$4x^3 + 4x^2 - 7x + 2 = (2x - 1)(2x^2 + 3x - 2)$ となる。

次に、$2x^2 + 3x - 2$ を因数分解する。

$2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$.

したがって、$4x^3 + 4x^2 - 7x + 2 = (2x - 1)(2x - 1)(x + 2) = (2x - 1)^2 (x + 2)$.

3. 最終的な答え

$(2x - 1)^2 (x + 2)$