放物線 $y=2x^2+6x$ を平行移動した曲線で、以下の条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 2点 $(1, -4)$, $(2, 0)$ を通る。 (2) 点 $(1, 3)$ を通り、その頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にある。

1. 問題の内容

放物線 $y=2x^2+6x$ を平行移動した曲線で、以下の条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 2点 $(1, -4)$, $(2, 0)$ を通る。

(2) 点 $(1, 3)$ を通り、その頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にある。

2. 解き方の手順

(1)

平行移動した放物線は $y = 2x^2 + bx + c$ と表せる。なぜなら、$x^2$ の係数は平行移動によって変化しないからである。

2点 $(1, -4)$, $(2, 0)$ を通るので、これらの座標を代入して連立方程式を解く。

$x = 1, y = -4$ を代入: $-4 = 2(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow -4 = 2 + b + c \Rightarrow b + c = -6$

$x = 2, y = 0$ を代入: $0 = 2(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 0 = 8 + 2b + c \Rightarrow 2b + c = -8$

連立方程式を解く:

$2b + c = -8$

$b + c = -6$

上の式から下の式を引くと、

$b = -2$

$b = -2$ を $b + c = -6$ に代入すると、

$-2 + c = -6 \Rightarrow c = -4$

よって、$y = 2x^2 - 2x - 4$

(2)

頂点の $x$ 座標を $p$ とすると、頂点の $y$ 座標は $2p - 3$ である。

したがって、頂点の座標は $(p, 2p - 3)$ である。

放物線は点 $(1, 3)$ を通るので、放物線の方程式を $y = 2(x - p)^2 + 2p - 3$ とおくことができる。

点 $(1, 3)$ を代入すると、

$3 = 2(1 - p)^2 + 2p - 3$

$3 = 2(1 - 2p + p^2) + 2p - 3$

$3 = 2 - 4p + 2p^2 + 2p - 3$

$3 = 2p^2 - 2p - 1$

$2p^2 - 2p - 4 = 0$

$p^2 - p - 2 = 0$

$(p - 2)(p + 1) = 0$

$p = 2$ または $p = -1$

$p = 2$ のとき、頂点は $(2, 1)$ であり、放物線は $y = 2(x - 2)^2 + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) + 1 = 2x^2 - 8x + 8 + 1 = 2x^2 - 8x + 9$

$p = -1$ のとき、頂点は $(-1, -5)$ であり、放物線は $y = 2(x + 1)^2 - 5 = 2(x^2 + 2x + 1) - 5 = 2x^2 + 4x + 2 - 5 = 2x^2 + 4x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 2x - 4$

(2) $y = 2x^2 - 8x + 9$ または $y = 2x^2 + 4x - 3$