正の実数 $a, b$ に対して、2次正則行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ として正しい選択肢を選べ。 (2) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ として正しい選択肢を選べ。

1. 問題の内容

正の実数 $a, b$ に対して、2次正則行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ として正しい選択肢を選べ。

(2) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ として正しい選択肢を選べ。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

行列式は $det(A) = a \cdot a - 1 \cdot 0 = a^2$。

逆行列は

$$A^{-1} = \frac{1}{a^2} \begin{pmatrix} a & -1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$$

選択肢の中からこれと一致するものを探す。

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

行列式は $det(B) = b \cdot b - 0 \cdot 1 = b^2$。

逆行列は

$$B^{-1} = \frac{1}{b^2} \begin{pmatrix} b & 0 \\ -1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{b} & 0 \\ -\frac{1}{b^2} & \frac{1}{b} \end{pmatrix}$$

選択肢の中からこれと一致するものを探す。

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は $\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$ である。選択肢2が該当する。

(2) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ は $\begin{pmatrix} \frac{1}{b} & 0 \\ -\frac{1}{b^2} & \frac{1}{b} \end{pmatrix}$ である。選択肢1が該当する。