正の実数 $a, b$ に対して、2次正則行列 $A, B$ がそれぞれ $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ で与えられている。行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ として正しい選択肢を選ぶ問題。

1. 問題の内容

正の実数 $a, b$ に対して、2次正則行列 $A, B$ がそれぞれ

$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$

で与えられている。行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ として正しい選択肢を選ぶ問題。

2. 解き方の手順

2x2行列 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、$\det(M) = ad - bc \ne 0$ のとき、

$M^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられる。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ に対して、$ad - bc = a \cdot a - 1 \cdot 0 = a^2$。

したがって、$A^{-1}$ は

$A^{-1} = \frac{1}{a^2} \begin{pmatrix} a & -1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{a^2} & -\frac{1}{a^2} \\ \frac{0}{a^2} & \frac{a}{a^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

選択肢2が正解。

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$