与えられた4つの分数式の計算問題を解きます。 (1) $\frac{3b^2c}{8a} \times \frac{4a^3}{9bc}$ (2) $\frac{t^2 + 3t}{t+5} \div \frac{t^3 + 6t^2 + 9t}{t^2-t-30}$ (3) $\frac{x^2+x}{2x^2+x-6} \div \frac{4x^2-6x}{x^2-1} \times \frac{x^2}{x^2+x-2}$ (4) $\frac{5y^3}{x(x-y)} \times \frac{y-x}{10y^2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの分数式の計算問題を解きます。

(1) $\frac{3b^2c}{8a} \times \frac{4a^3}{9bc}$

(2) $\frac{t^2 + 3t}{t+5} \div \frac{t^3 + 6t^2 + 9t}{t^2-t-30}$

(3) $\frac{x^2+x}{2x^2+x-6} \div \frac{4x^2-6x}{x^2-1} \times \frac{x^2}{x^2+x-2}$

(4) $\frac{5y^3}{x(x-y)} \times \frac{y-x}{10y^2}$

2. 解き方の手順

(1) 分数式の掛け算を実行し、共通因数で約分します。

$\frac{3b^2c}{8a} \times \frac{4a^3}{9bc} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a^3 b^2 c}{8 \cdot 9 \cdot a b c} = \frac{12a^3b^2c}{72abc} = \frac{a^2b}{6}$

(2) 割り算を掛け算に変換し、分母と分子を入れ替えます。その後、式を因数分解し、共通因数で約分します。

$\frac{t^2 + 3t}{t+5} \div \frac{t^3 + 6t^2 + 9t}{t^2-t-30} = \frac{t(t+3)}{t+5} \times \frac{(t-6)(t+5)}{t(t^2+6t+9)} = \frac{t(t+3)}{t+5} \times \frac{(t-6)(t+5)}{t(t+3)^2} = \frac{t(t+3)(t-6)(t+5)}{t(t+5)(t+3)^2} = \frac{t-6}{t+3}$

(3) 割り算を掛け算に変換し、分母と分子を入れ替えます。その後、式を因数分解し、共通因数で約分します。

$\frac{x^2+x}{2x^2+x-6} \div \frac{4x^2-6x}{x^2-1} \times \frac{x^2}{x^2+x-2} = \frac{x(x+1)}{(2x-3)(x+2)} \times \frac{(x-1)(x+1)}{2x(2x-3)} \times \frac{x^2}{(x+2)(x-1)} = \frac{x(x+1)(x-1)(x+1)x^2}{(2x-3)(x+2)2x(2x-3)(x+2)(x-1)} = \frac{x^2(x+1)^2(x-1)}{2x(2x-3)^2(x+2)^2(x-1)} = \frac{x(x+1)^2}{2(2x-3)^2(x+2)^2} = \frac{x(x+1)^2}{2(2x-3)^2(x+2)^2}$

(4) $y-x$ を $-1(x-y)$ に変形し、共通因数で約分します。

$\frac{5y^3}{x(x-y)} \times \frac{y-x}{10y^2} = \frac{5y^3}{x(x-y)} \times \frac{-(x-y)}{10y^2} = \frac{-5y^3(x-y)}{10xy^2(x-y)} = \frac{-5y^3}{10xy^2} = \frac{-y}{2x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a^2b}{6}$

(2) $\frac{t-6}{t+3}$

(3) $\frac{x(x+1)^2}{2(2x-3)^2(x+2)^2}$

(4) $-\frac{y}{2x}$