次の3つの問題の方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-3|=2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

次の3つの問題の方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-3|=2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3|=2x$

絶対値を含む方程式なので、場合分けを行います。

(i) $x-3 \ge 0$、つまり $x \ge 3$ のとき、$|x-3| = x-3$ なので、

$x-3 = 2x$

$-3 = x$

これは $x \ge 3$ を満たさないので不適です。

(ii) $x-3 < 0$、つまり $x < 3$ のとき、$|x-3| = -(x-3) = -x+3$ なので、

$-x+3 = 2x$

$3 = 3x$

$x=1$

これは $x < 3$ を満たすので適します。

(2) $|x-4| \le 2x+1$

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

(i) $x-4 \ge 0$、つまり $x \ge 4$ のとき、$|x-4| = x-4$ なので、

$x-4 \le 2x+1$

$-5 \le x$

これは $x \ge 4$ を満たします。よって、$x \ge 4$

(ii) $x-4 < 0$、つまり $x < 4$ のとき、$|x-4| = -(x-4) = -x+4$ なので、

$-x+4 \le 2x+1$

$3 \le 3x$

$1 \le x$

これは $x < 4$ と $1 \le x$ を満たすので、$1 \le x < 4$

(i)と(ii)を合わせて、$x \ge 1$

ただし、$|x-4| \le 2x+1$より、$2x+1 \ge 0$である必要があるため、$x \ge -\frac{1}{2}$である必要があります。

したがって、合わせた答えは $x \ge 1$となります。

(3) $|x+1| > 5x$

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

(i) $x+1 \ge 0$、つまり $x \ge -1$ のとき、$|x+1| = x+1$ なので、

$x+1 > 5x$

$1 > 4x$

$x < \frac{1}{4}$

これは $x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ を満たすので、$-1 \le x < \frac{1}{4}$

(ii) $x+1 < 0$、つまり $x < -1$ のとき、$|x+1| = -(x+1) = -x-1$ なので、

$-x-1 > 5x$

$-1 > 6x$

$x < -\frac{1}{6}$

これは $x < -1$ を満たすので、$x < -1$

(i)と(ii)を合わせて、$x < \frac{1}{4}$

ただし、$|x+1| > 5x$より、$5x$ が負の値を取ることがあります。

$x < -\frac{1}{6}$と$-1 \le x < \frac{1}{4}$を合わせた答えは、$x < \frac{1}{4}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$