数学的帰納法を用いて、以下の2つの等式を証明する問題です。 (1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ (2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、以下の2つの等式を証明する問題です。

(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

2. 解き方の手順

(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ の証明

(i) $n = 1$ のとき

左辺 $= 1$, 右辺 $= 1^2 = 1$

よって、$n = 1$ のとき等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき等式が成り立つと仮定すると、

$1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2$

$n = k+1$ のとき、

$1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+2-1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$

よって、$n = k+1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について等式が成り立つ。

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ の証明

(i) $n = 1$ のとき

左辺 $= 1 \cdot 2 = 2$, 右辺 $= \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$

よって、$n = 1$ のとき等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき等式が成り立つと仮定すると、

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$

$n = k+1$ のとき、

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)$

$= \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + \frac{3}{3}(k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

$= \frac{1}{3}(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)$

よって、$n = k+1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) すべての自然数 $n$ について、$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ が成り立つ。

(2) すべての自然数 $n$ について、$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ が成り立つ。