与えられた多項式を、指定された1次式で割ったときの余りを求める問題です。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) $x^3 + 2x^2 - 3x + 4$ を $x-3$ で割った余り (2) $6x^3 + 5x^2 + 3$ を $x+2$ で割った余り (3) $2x^3 - x^2 + 5x - 6$ を $2x-3$ で割った余り (4) $8x^3 + 4x^2 - 10x + 3$ を $2x+1$ で割った余り

1. 問題の内容

与えられた多項式を、指定された1次式で割ったときの余りを求める問題です。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) $x^3 + 2x^2 - 3x + 4$ を $x-3$ で割った余り

(2) $6x^3 + 5x^2 + 3$ を $x+2$ で割った余り

(3) $2x^3 - x^2 + 5x - 6$ を $2x-3$ で割った余り

(4) $8x^3 + 4x^2 - 10x + 3$ を $2x+1$ で割った余り

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、「多項式$P(x)$を$x-a$で割った余りは$P(a)$である」という定理です。

(1) $P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4$, $x-a = x-3$ より $a=3$。

$P(3) = 3^3 + 2(3^2) - 3(3) + 4 = 27 + 18 - 9 + 4 = 40$

(2) $P(x) = 6x^3 + 5x^2 + 3$, $x-a = x+2$ より $a=-2$。

$P(-2) = 6(-2)^3 + 5(-2)^2 + 3 = 6(-8) + 5(4) + 3 = -48 + 20 + 3 = -25$

(3) $P(x) = 2x^3 - x^2 + 5x - 6$, $2x-3 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$。

$P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^2 + 5(\frac{3}{2}) - 6 = 2(\frac{27}{8}) - \frac{9}{4} + \frac{15}{2} - 6 = \frac{27}{4} - \frac{9}{4} + \frac{30}{4} - \frac{24}{4} = \frac{27 - 9 + 30 - 24}{4} = \frac{24}{4} = 6$

(4) $P(x) = 8x^3 + 4x^2 - 10x + 3$, $2x+1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$。

$P(-\frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 - 10(-\frac{1}{2}) + 3 = 8(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + 5 + 3 = -1 + 1 + 5 + 3 = 8$

3. 最終的な答え

(1) 40

(2) -25

(3) 6

(4) 8