与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10) - 180$ を因数分解し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10) - 180$ を因数分解し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10) - 180$ を見やすくするために、項の順番を適切に入れ替えます。

$(x+1)(x+10)(x+2)(x+9) - 180$

次に、それぞれのかっこの積を計算します。

$(x^2 + 11x + 10)(x^2 + 11x + 18) - 180$

ここで、$x^2 + 11x = A$ と置換すると、式は次のようになります。

$(A + 10)(A + 18) - 180$

これを展開すると、

$A^2 + 28A + 180 - 180 = A^2 + 28A$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2 + 11x)^2 + 28(x^2 + 11x)$

$(x^2 + 11x)$ を共通因数としてくくり出すと、

$(x^2 + 11x)(x^2 + 11x + 28)$

さらに、$x^2 + 11x + 28$ を因数分解すると、

$(x^2 + 11x)(x + 4)(x + 7)$

したがって、$x^2 + 11x = x(x + 11)$ なので、

$x(x + 11)(x + 4)(x + 7)$

3. 最終的な答え

$x(x+4)(x+7)(x+11)$