二次不等式 $-x^2 - 4x - 3 \leq 0$ を解きます。

1. 問題の内容

二次不等式 $-x^2 - 4x - 3 \leq 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に-1を掛けます。このとき不等号の向きが変わることに注意します。

$x^2 + 4x + 3 \geq 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(x+1)(x+3) \geq 0$

この不等式を満たす$x$の範囲を求めます。

$(x+1)(x+3) = 0$ となるのは、$x = -1$ または $x = -3$ のときです。

数直線を使い、$x < -3$, $-3 < x < -1$, $x > -1$ の3つの範囲で不等式$(x+1)(x+3) \geq 0$が成り立つかどうか調べます。

- $x < -3$ のとき、例えば $x = -4$ を代入すると、$(x+1)(x+3) = (-4+1)(-4+3) = (-3)(-1) = 3 > 0$ となり、不等式は成り立ちます。

- $-3 < x < -1$ のとき、例えば $x = -2$ を代入すると、$(x+1)(x+3) = (-2+1)(-2+3) = (-1)(1) = -1 < 0$ となり、不等式は成り立ちません。

- $x > -1$ のとき、例えば $x = 0$ を代入すると、$(x+1)(x+3) = (0+1)(0+3) = (1)(3) = 3 > 0$ となり、不等式は成り立ちます。

また、$x=-1$および$x=-3$のとき、$(x+1)(x+3) = 0$ となり、不等式 $(x+1)(x+3) \geq 0$ は成り立ちます。

したがって、$x \leq -3$ または $x \geq -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x \leq -3$ または $x \geq -1$