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問題は、式 $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を因数分解することです。

代数学因数分解二次式平方完成
2025/5/6

1. 問題の内容

問題は、式 x2−4x−y2−6y−5x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 を因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、xx の項と yy の項をそれぞれ平方完成します。
x2−4xx^2 - 4x について、(x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 より、x2−4x=(x−2)2−4x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 となります。
y2+6yy^2 + 6y について、(y+3)2=y2+6y+9(y+3)^2 = y^2 + 6y + 9 より、y2+6y=(y+3)2−9y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9 となります。
したがって、与えられた式は
x2−4x−y2−6y−5=(x−2)2−4−((y+3)2−9)−5=(x−2)2−4−(y+3)2+9−5=(x−2)2−(y+3)2x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 = (x-2)^2 - 4 - ((y+3)^2 - 9) - 5 = (x-2)^2 - 4 - (y+3)^2 + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y+3)^2
となります。
ここで、A=x−2A = x-2、B=y+3B = y+3 とおくと、A2−B2A^2 - B^2 となり、これは (A−B)(A+B)(A-B)(A+B) と因数分解できます。
したがって、
(x−2)2−(y+3)2=((x−2)−(y+3))((x−2)+(y+3))=(x−2−y−3)(x−2+y+3)=(x−y−5)(x+y+1)(x-2)^2 - (y+3)^2 = ((x-2) - (y+3))((x-2) + (y+3)) = (x - 2 - y - 3)(x - 2 + y + 3) = (x - y - 5)(x + y + 1)
となります。

3. 最終的な答え

(x−y−5)(x+y+1)(x-y-5)(x+y+1)

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