与えられた4つの複二次式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 + 3x^2 + 4$ (2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ (3) $x^4 - 9x^2y^2 + 16y^4$ (4) $4x^4 + 11x^2y^2 + 9y^4$

1. 問題の内容

与えられた4つの複二次式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 + 3x^2 + 4$

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$

(3) $x^4 - 9x^2y^2 + 16y^4$

(4) $4x^4 + 11x^2y^2 + 9y^4$

2. 解き方の手順

複二次式の因数分解は、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形に無理やり変形することで行います。

(1) $x^4 + 3x^2 + 4$

$x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = (x^2 + 2)^2 - x^2 = (x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 - x) = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2 - y^2 + 3xy)(x^2 - y^2 - 3xy) = (x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$

(3) $x^4 - 9x^2y^2 + 16y^4$

$x^4 + 8x^2y^2 + 16y^4 - 17x^2y^2 = (x^2 + 4y^2)^2 - (xy\sqrt{17})^2$

これはうまくいかない。

$x^4 - 9x^2y^2 + 16y^4 = x^4 + 8x^2y^2 + 16y^4 - 17x^2y^2$

$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 - x^2y^2 = (x^2 - 4y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 - 4y^2 + xy)(x^2 - 4y^2 - xy) = (x^2 + xy - 4y^2)(x^2 - xy - 4y^2)$

(4) $4x^4 + 11x^2y^2 + 9y^4$

$4x^4 + 12x^2y^2 + 9y^4 - x^2y^2 = (2x^2 + 3y^2)^2 - (xy)^2 = (2x^2 + 3y^2 + xy)(2x^2 + 3y^2 - xy) = (2x^2 + xy + 3y^2)(2x^2 - xy + 3y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(2) $(x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$

(3) $(x^2 + xy - 4y^2)(x^2 - xy - 4y^2)$

(4) $(2x^2 + xy + 3y^2)(2x^2 - xy + 3y^2)$