与えられた式を因数分解する問題です。取り扱う式は以下の通りです。 (1) $x^3 + 27$ (2) $64a^3 - 27$ (3) $1 - x^3$ (4) $8x^3 - y^3$ (5) $125a^3 + 8b^3$ (6) $x^3 - y^3z^3$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。取り扱う式は以下の通りです。

(1) $x^3 + 27$

(2) $64a^3 - 27$

(3) $1 - x^3$

(4) $8x^3 - y^3$

(5) $125a^3 + 8b^3$

(6) $x^3 - y^3z^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 27$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式を利用します。

$27 = 3^3$ なので、$a = x$, $b = 3$ を代入します。

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 3^2) = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $64a^3 - 27$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用します。

$64a^3 = (4a)^3$, $27 = 3^3$ なので、$a = 4a$, $b = 3$ を代入します。

$64a^3 - 27 = (4a)^3 - 3^3 = (4a-3)((4a)^2 + 4a \cdot 3 + 3^2) = (4a-3)(16a^2 + 12a + 9)$

(3) $1 - x^3$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用します。

$1 = 1^3$ なので、$a = 1$, $b = x$ を代入します。

$1 - x^3 = 1^3 - x^3 = (1-x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1-x)(1 + x + x^2)$

(4) $8x^3 - y^3$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 = (2x)^3$ なので、$a = 2x$, $b = y$ を代入します。

$8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3 = (2x-y)((2x)^2 + 2x \cdot y + y^2) = (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

(5) $125a^3 + 8b^3$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式を利用します。

$125a^3 = (5a)^3$, $8b^3 = (2b)^3$ なので、$a = 5a$, $b = 2b$ を代入します。

$125a^3 + 8b^3 = (5a)^3 + (2b)^3 = (5a+2b)((5a)^2 - 5a \cdot 2b + (2b)^2) = (5a+2b)(25a^2 - 10ab + 4b^2)$

(6) $x^3 - y^3z^3$

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用します。

$y^3z^3 = (yz)^3$ なので、$a = x$, $b = yz$ を代入します。

$x^3 - y^3z^3 = x^3 - (yz)^3 = (x-yz)(x^2 + x \cdot yz + (yz)^2) = (x-yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $(4a-3)(16a^2 + 12a + 9)$

(3) $(1-x)(1 + x + x^2)$

(4) $(2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

(5) $(5a+2b)(25a^2 - 10ab + 4b^2)$

(6) $(x-yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$