問題は、与えられた式を因数分解することです。具体的には、 (2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ (4) $x^4 + 4y^4$ の二つの式を因数分解します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式を因数分解することです。具体的には、

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$

(4) $x^4 + 4y^4$

の二つの式を因数分解します。

2. 解き方の手順

(2) $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ の因数分解

この式は、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$と変形できます。

$(x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2$ となりますが、$13$が平方数ではないため、このままでは因数分解できません。

元の式を $x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (\sqrt{13}xy)^2$と考えると、$(x^2 + y^2 - \sqrt{13}xy)(x^2 + y^2 + \sqrt{13}xy)$となります。

しかし、通常はこのような因数分解は求められていません。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 + ax y + y^2)(x^2 + bxy + y^2) = x^4 + (a+b)x^3y + (2+ab)x^2y^2 + (a+b)xy^3 + y^4$

$x^3y, xy^3$の係数が0なので、$a + b = 0$、$b = -a$。

$2+ab = -11$, $2-a^2 = -11$

$a^2 = 13$。 $a = \pm \sqrt{13}$

別の方法として、 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2 - 3xy - y^2)(x^2 + 3xy - y^2)$

(4) $x^4 + 4y^4$ の因数分解

この式に $4x^2y^2 - 4x^2y^2$ を加えます。

$x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2 + 2y^2 - 2xy)(x^2 + 2y^2 + 2xy)$.

3. 最終的な答え

(2) $(x^2 - 3xy - y^2)(x^2 + 3xy - y^2)$

(4) $(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$