問題は2つあります。 1つ目の問題は、第3項が10である等差数列の初項から第5項までの和を求める問題です。 2つ目の問題は、初項が70、公差が-4である等差数列{an}について、以下の2つを求める問題です。 (1) 和が初めて負となるのは、第何項のときか。 (2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、そのときの和を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、第3項が10である等差数列の初項から第5項までの和を求める問題です。

2つ目の問題は、初項が70、公差が-4である等差数列{an}について、以下の2つを求める問題です。

(1) 和が初めて負となるのは、第何項のときか。

(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また、そのときの和を求めよ。

2. 解き方の手順

1つ目の問題：

等差数列の初項を$a$、公差を$d$とすると、第$n$項は$a + (n-1)d$で表されます。

第3項が10であることから、$a + 2d = 10$という関係式が得られます。

初項から第5項までの和$S_5$は、$S_5 = \frac{5}{2}(2a + (5-1)d) = \frac{5}{2}(2a + 4d) = 5(a + 2d)$で表されます。

$a + 2d = 10$を代入すると、$S_5 = 5 \times 10 = 50$となります。

2つ目の問題：

(1) 初項から第$n$項までの和$S_n$は、$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$で表されます。

与えられた条件より、$a = 70$、$d = -4$なので、$S_n = \frac{n}{2}(2(70) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(140 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(144 - 4n) = n(72 - 2n) = 72n - 2n^2$となります。

$S_n < 0$となる最小の$n$を求めます。

$72n - 2n^2 < 0$より、$2n(36 - n) < 0$。

$n > 0$であるから、$36 - n < 0$となり、$n > 36$。

したがって、和が初めて負となるのは第37項のときです。

(2) 和が最大となるのは、$a_n > 0$となる最大の$n$までです。

$a_n = a + (n-1)d = 70 + (n-1)(-4) = 70 - 4n + 4 = 74 - 4n$

$74 - 4n > 0$より、$4n < 74$、$n < \frac{74}{4} = 18.5$。

したがって、$a_{18} > 0$、$a_{19} < 0$なので、初項から第18項までの和が最大となります。

その和は、$S_{18} = 18(72 - 2 \times 18) = 18(72 - 36) = 18 \times 36 = 648$となります。

3. 最終的な答え

1つ目の問題の答え：50

2つ目の問題の答え：

(1) 第37項

(2) 第18項, 和は648