5. 次の等差数列の和を求めよ。 (1) 初項40, 末項6, 項数18 (2) 初項11, 公差4, 項数10 (3) 初項70, 公差-5, 項数17 (4) 2, 5, 8, ..., 50 6. 次の等差数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。 (1) 初項5, 公差3 (2) 初項19, 公差-2 (3) 1, 5, 9, ... (4) 10, 7, 4, ...

1. 問題の内容

5. 次の等差数列の和を求めよ。

(1) 初項40, 末項6, 項数18

(2) 初項11, 公差4, 項数10

(3) 初項70, 公差-5, 項数17

(4) 2, 5, 8, ..., 50

6. 次の等差数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

(1) 初項5, 公差3

(2) 初項19, 公差-2

(3) 1, 5, 9, ...

(4) 10, 7, 4, ...

2. 解き方の手順

5. 等差数列の和を求める。

(1) 初項$a_1 = 40$, 末項$a_n = 6$, 項数$n = 18$のとき、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$で求められる。

$S_{18} = \frac{18}{2}(40 + 6) = 9(46) = 414$

(2) 初項$a_1 = 11$, 公差$d = 4$, 項数$n = 10$のとき、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$で求められる。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2(11) + (10-1)4) = 5(22 + 36) = 5(58) = 290$

(3) 初項$a_1 = 70$, 公差$d = -5$, 項数$n = 17$のとき、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$で求められる。

$S_{17} = \frac{17}{2}(2(70) + (17-1)(-5)) = \frac{17}{2}(140 - 80) = \frac{17}{2}(60) = 17(30) = 510$

(4) 初項$a_1 = 2$, 公差$d = 3$, 末項$a_n = 50$のとき、項数$n$を求める。

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$50 = 2 + (n-1)3$

$48 = (n-1)3$

$16 = n-1$

$n = 17$

等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$で求められる。

$S_{17} = \frac{17}{2}(2 + 50) = \frac{17}{2}(52) = 17(26) = 442$

6. 等差数列の初項から第n項までの和$S_n$を求める。

(1) 初項$a_1 = 5$, 公差$d = 3$のとき、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$で求められる。

$S_n = \frac{n}{2}(2(5) + (n-1)3) = \frac{n}{2}(10 + 3n - 3) = \frac{n}{2}(3n + 7)$

(2) 初項$a_1 = 19$, 公差$d = -2$のとき、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$で求められる。

$S_n = \frac{n}{2}(2(19) + (n-1)(-2)) = \frac{n}{2}(38 - 2n + 2) = \frac{n}{2}(40 - 2n) = n(20 - n) = 20n - n^2$

(3) 初項$a_1 = 1$, 公差$d = 4$のとき、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$で求められる。

$S_n = \frac{n}{2}(2(1) + (n-1)4) = \frac{n}{2}(2 + 4n - 4) = \frac{n}{2}(4n - 2) = n(2n - 1) = 2n^2 - n$

(4) 初項$a_1 = 10$, 公差$d = -3$のとき、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$で求められる。

$S_n = \frac{n}{2}(2(10) + (n-1)(-3)) = \frac{n}{2}(20 - 3n + 3) = \frac{n}{2}(23 - 3n)$

3. 最終的な答え

5. (1) 414

(2) 290

(3) 510

(4) 442

6. (1) $\frac{n}{2}(3n + 7)$

(2) $20n - n^2$

(3) $2n^2 - n$

(4) $\frac{n}{2}(23 - 3n)$