問題は、次の式を因数分解することです。 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$

1. 問題の内容

問題は、次の式を因数分解することです。

$a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2 - 2bc + c^2) + b(c^2 - 2ca + a^2) + c(a^2 - 2ab + b^2) + 8abc$

$= ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

この式を整理します。

$= a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$

さらに整理します。

$= (a + b -c)ab - bc - ca + abc$

$= (a + b + c)(ab + bc + ca)$

$= (a+b-c) {(b-c)a-bc}+abc$

$= (b-c)a^2 - abc + (b-c)^2 -bc(b-c)+abc$

$= (b-c)a^2 + (b^2-2bc +c^2)-b^2c+bc^2$

$= (b-c)a^2 + (b-c)^2-bc(b-c)$

$= (b-c) (a^2 + b^2 -2bc + c^2) -bc (b-c)+abc$

$= (b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc)$

$= (b-c)(a^2+b^2+c^2-bc)+abc$

これは、以下の形に因数分解できます。

$-(a+b)(b-c)(c-a)$

または

$(a+b)(b+c)(c+a)$

最終的に因数分解された形は

$(a+b)(b+c)(c+a)$

となります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$