関数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域は $0 \le x \le a$, $a$は正の定数) について、以下の問いに答える問題です。 (1) この関数のグラフの軸を求める。 (2) 定義域における最小値を$a$の範囲によって求める。 (3) 定義域における最大値を$a$の範囲によって求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域は $0 \le x \le a$, $a$は正の定数) について、以下の問いに答える問題です。

(1) この関数のグラフの軸を求める。

(2) 定義域における最小値を$a$の範囲によって求める。

(3) 定義域における最大値を$a$の範囲によって求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 - 8x + 3$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 4x) + 3 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3 = 2(x - 2)^2 - 5$

(1) グラフの軸は $x = 2$ です。

(2) 最小値を求めます。

(i) $0 < a < 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x=2$ が含まれていないので、 $x = a$ で最小値をとります。

$y = 2(a-2)^2 - 5 = 2(a^2 - 4a + 4) - 5 = 2a^2 - 8a + 8 - 5 = 2a^2 - 8a + 3$

(ii) $2 \le a$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x=2$ が含まれているので、 $x = 2$ で最小値をとります。

$y = -5$

(3) 最大値を求めます。

(i) $0 < a < 4$ のとき

$x=0$と$x=a$での値を比較します。

$x=0$のとき、$y=3$

$x=a$のとき、$y=2a^2-8a+3$

軸$x=2$からの距離で考えると、$x=0$の方が遠いので、$x=0$で最大値をとります。

$y=3$

(ii) $a = 4$ のとき

$x=0$と$x=4$での値を比較します。

$x=0$のとき、$y=3$

$x=4$のとき、$y=2(4)^2-8(4)+3=32-32+3=3$

よって、$x=0,4$で最大値をとります。

$y=3$

(iii) $4 < a$ のとき

$x=0$と$x=a$での値を比較します。

軸$x=2$からの距離で考えると、$x=a$の方が遠いので、$x=a$で最大値をとります。

$y = 2a^2 - 8a + 3$

3. 最終的な答え

(1) エ: 2

(2) (i) オ: 7, カ: 9

(ii) キ: 6, ク: 6

(3) (i) ケ: 3, コ: 3

(ii) サ: 0, シ: 4, ス: 3

(iii) セ: 7, ソ: 9