与えられた式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると二次式のように見えますが、直接因数分解することは難しいです。そこで、平方完成を利用して因数分解を試みます。

まず、$x^4 + 8x^2 + 16$ となるように変形します。

そのため、$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 17x^2$ とします。

すると、

$x^4 + 8x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2$

なので、

$(x^2 + 4)^2 - 17x^2$

となります。

ここで、$17x^2$は$(\sqrt{17}x)^2$なので、

$(x^2 + 4)^2 - (\sqrt{17}x)^2$

これは、二乗の差の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用できます。

$a = x^2 + 4$, $b = \sqrt{17}x$ とおくと、

$(x^2 + 4 + \sqrt{17}x)(x^2 + 4 - \sqrt{17}x)$

整理して

$(x^2 + \sqrt{17}x + 4)(x^2 - \sqrt{17}x + 4)$

となります。

あるいは、以下のように式を操作します。

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2 = (x^2+4)^2 - 17x^2$

二乗の差の公式を用いて

$(x^2+4 - \sqrt{17}x)(x^2+4 + \sqrt{17}x)$

項の順序を入れ替えて

$(x^2 - \sqrt{17}x + 4)(x^2 + \sqrt{17}x + 4)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 - \sqrt{17}x + 4)(x^2 + \sqrt{17}x + 4)$