ベクトル $\vec{a} + \vec{b} = (-2, 1)$ および $\vec{a} - 2\vec{b} = (-5, 4)$ が与えられているとき、以下のものを求めます。 (1) ベクトル $\vec{a}$ および $\vec{b}$ の成分 (2) ベクトル $\vec{a}$ の大きさ $|\vec{a}|$ およびベクトル $\vec{b}$ の大きさ $|\vec{b}|$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} + \vec{b} = (-2, 1)$ および $\vec{a} - 2\vec{b} = (-5, 4)$ が与えられているとき、以下のものを求めます。

(1) ベクトル $\vec{a}$ および $\vec{b}$ の成分

(2) ベクトル $\vec{a}$ の大きさ $|\vec{a}|$ およびベクトル $\vec{b}$ の大きさ $|\vec{b}|$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の成分を求める。

$\vec{a} + \vec{b} = (-2, 1)$

$\vec{a} - 2\vec{b} = (-5, 4)$

上記の2つの式を連立方程式として解く。1つ目の式から $\vec{a} = (-2, 1) - \vec{b}$ なので、これを2つ目の式に代入すると、

$(-2, 1) - \vec{b} - 2\vec{b} = (-5, 4)$

$-3\vec{b} = (-5, 4) - (-2, 1)$

$-3\vec{b} = (-3, 3)$

$\vec{b} = (1, -1)$

$\vec{a} + \vec{b} = (-2, 1)$ に $\vec{b} = (1, -1)$ を代入すると、

$\vec{a} + (1, -1) = (-2, 1)$

$\vec{a} = (-2, 1) - (1, -1)$

$\vec{a} = (-3, 2)$

(2) $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を求める。

$\vec{a} = (-3, 2)$ なので、

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

$\vec{b} = (1, -1)$ なので、

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} = (-3, 2)$, $\vec{b} = (1, -1)$

(2) $|\vec{a}| = \sqrt{13}$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$