与えられた式 $(x^2 - x - 1)(x^2 - x - 3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - x - 1)(x^2 - x - 3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - x$ を $A$ と置換する。すると、与えられた式は $(A-1)(A-3)$ となる。

これを展開すると、

$(A-1)(A-3) = A^2 - 3A - A + 3 = A^2 - 4A + 3$

となる。

次に、$A$ を $x^2 - x$ に戻すと、

$A^2 - 4A + 3 = (x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) + 3$

となる。

$(x^2 - x)^2$ を展開すると、

$(x^2 - x)^2 = (x^2 - x)(x^2 - x) = x^4 - x^3 - x^3 + x^2 = x^4 - 2x^3 + x^2$

となる。

$-4(x^2 - x)$ を展開すると、

$-4(x^2 - x) = -4x^2 + 4x$

となる。

したがって、

$(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) + 3 = x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x^2 + 4x + 3 = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 3$

となる。

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 3$