与えられた等比数列の一般項を求める問題です。ただし、公比は実数とします。 (1) 初項が -2 で、第 4 項が 128 である等比数列 (2) 第 2 項が 6 で、第 5 項が -48 である等比数列

1. 問題の内容

与えられた等比数列の一般項を求める問題です。ただし、公比は実数とします。

(1) 初項が -2 で、第 4 項が 128 である等比数列

(2) 第 2 項が 6 で、第 5 項が -48 である等比数列

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公比を $r$ とすると、第 $n$ 項は $a_n = ar^{n-1}$ と表されます。

初項が -2 なので、$a = -2$ です。第 4 項が 128 なので、$a_4 = ar^{4-1} = ar^3 = 128$ です。

$a = -2$ を代入すると、 $-2r^3 = 128$ となり、$r^3 = -64$ となります。

$r$ は実数なので、$r = -4$ となります。

したがって、一般項は $a_n = -2 \cdot (-4)^{n-1}$ となります。

(2) 初項を $a$、公比を $r$ とすると、第 $n$ 項は $a_n = ar^{n-1}$ と表されます。

第 2 項が 6 なので、$a_2 = ar^{2-1} = ar = 6$ です。

第 5 項が -48 なので、$a_5 = ar^{5-1} = ar^4 = -48$ です。

$ar = 6$ より $a = \frac{6}{r}$ なので、$ar^4 = \frac{6}{r}r^4 = 6r^3 = -48$ となります。

よって、$r^3 = -8$ となり、$r$ は実数なので、$r = -2$ となります。

$a = \frac{6}{r}$ より、$a = \frac{6}{-2} = -3$ となります。

したがって、一般項は $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -2 \cdot (-4)^{n-1}$

(2) $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$