与えられた二つの不等式 $x < 2a$ (1) と $2x - 1 > 5$ (2) について、以下の問いに答えます。 (1) 不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数 $x$ が $x=4$ だけであるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式 $x < 2a$ (1) と $2x - 1 > 5$ (2) について、以下の問いに答えます。

(1) 不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数 $x$ が $x=4$ だけであるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式(2)を解きます。

$2x - 1 > 5$

$2x > 6$

$x > 3$

(1)

不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在するためには、$x<2a$ と $x>3$ を満たす $x$ が存在する必要があります。つまり、$2a > 3$ である必要があります。

$2a > 3$

$a > \frac{3}{2}$

(2)

不等式(1)と(2)を同時に満たす整数 $x$ が $x=4$ だけであるとき、$3 < x < 2a$ を満たす整数 $x$ が $x=4$ だけである必要があります。

$3 < x < 2a$ を満たす整数が $4$ だけなので、$4 < 2a \le 5$ である必要があります。

$4 < 2a \le 5$

$2 < a \le \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a > \frac{3}{2}$

(2) $2 < a \le \frac{5}{2}$