与えられた4つの等式の中から、$x$ についての恒等式を選ぶ問題です。恒等式とは、$x$ にどんな値を代入しても成り立つ等式のことを指します。

1. 問題の内容

与えられた4つの等式の中から、$x$ についての恒等式を選ぶ問題です。恒等式とは、$x$ にどんな値を代入しても成り立つ等式のことを指します。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

左辺を展開すると、$x^2 - 1$ となり、右辺と一致します。したがって、これは恒等式です。

(2) $x(x-1) + x = 2x$

左辺を展開して整理すると、

$x^2 - x + x = 2x$

$x^2 = 2x$

この等式は、$x=0$ または $x=2$ の時に成り立ちますが、$x$ が任意の値で成り立つわけではないため、恒等式ではありません。

(3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{2x+1}$

左辺を計算すると、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

したがって、$\frac{2x+1}{x(x+1)} = \frac{2}{2x+1}$ となる必要があります。

この式は恒等式ではないです。（例: x=1を代入すると、3/2=2/3 となり成り立たない）

(4) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{2}{x(x+2)}$

左辺を計算すると、

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{x(x+2)} - \frac{x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)}$

これは右辺と一致するため、恒等式です。

3. 最終的な答え

(1) と (4)