与えられた2変数多項式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (3y + 2)x + (2y^2 + 5y - 3)$

(2) 定数項 $2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y - 1)(y + 3)$

(3) 与式を因数分解できると仮定して、

$(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になることを目指します。

(4) $(x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$ と比較すると、

$a+c = 3$, $ac = 2$, $b+d = 2$, $ad+bc = 5$, $bd = -3$

$ac = 2$ より、$(a, c) = (1, 2)$ または $(2, 1)$ を考えます。

$a+c = 3$ より、$(a, c) = (1, 2)$ または $(2, 1)$.

(5) $(a, c) = (1, 2)$ のとき、$x^2 + (3y + 2)x + (2y - 1)(y + 3)$

$(x + y + b)(x + 2y + d)$ とすると、$b + d = 2$, $2b + d = 5$, $bd = -3$

$b + d = 2$ より $d = 2 - b$ なので、$2b + (2 - b) = 5$

$b + 2 = 5$ なので $b = 3$, $d = 2 - 3 = -1$

$bd = 3 \times (-1) = -3$ となり、条件を満たします。

したがって、$(x + y + 3)(x + 2y - 1)$ となります。

(6) $(a, c) = (2, 1)$ のとき、$x^2 + (3y + 2)x + (2y - 1)(y + 3)$

$(x + 2y + b)(x + y + d)$ とすると、$b + d = 2$, $b + 2d = 5$, $bd = -3$

$b + d = 2$ より $b = 2 - d$ なので、$(2 - d) + 2d = 5$

$d + 2 = 5$ なので $d = 3$, $b = 2 - 3 = -1$

$bd = -1 \times 3 = -3$ となり、条件を満たします。

したがって、$(x + 2y - 1)(x + y + 3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x + y + 3)(x + 2y - 1)$