関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2)=9$ かつ $f^{-1}(1)=-2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2)=9$ かつ $f^{-1}(1)=-2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(2) = 9$ を使って $a$ と $b$ の関係式を求めます。

$f(2) = \frac{2a+1}{4+b} = 9$

$2a+1 = 9(4+b) = 36+9b$

$2a - 9b = 35$ ...(1)

次に、$f^{-1}(x)$ を求めます。$y = f(x)$ とおくと、

$y = \frac{ax+1}{2x+b}$

$y(2x+b) = ax+1$

$2xy+by = ax+1$

$2xy-ax = 1-by$

$x(2y-a) = 1-by$

$x = \frac{1-by}{2y-a}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{1-bx}{2x-a}$

$f^{-1}(1) = -2$ なので、

$f^{-1}(1) = \frac{1-b}{2-a} = -2$

$1-b = -2(2-a) = -4+2a$

$2a+b = 5$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1) $2a - 9b = 35$

(2) $2a + b = 5$

(1) - (2) より、

$-10b = 30$

$b = -3$

(2)に代入して、

$2a - 3 = 5$

$2a = 8$

$a = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = -3$