初項が正の数である等比数列$\{a_n\}$において、第2項と第4項の和が20、第4項と第6項の和が80であるとき、初項と公比を求め、さらに初項から第10項までの和を求める。

1. 問題の内容

初項が正の数である等比数列$\{a_n\}$において、第2項と第4項の和が20、第4項と第6項の和が80であるとき、初項と公比を求め、さらに初項から第10項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$、公比を$r$とすると、数列の各項は$a_n = ar^{n-1}$と表せる。

第2項と第4項の和が20であることから、

$ar + ar^3 = 20$

$ar(1+r^2) = 20$ ...(1)

第4項と第6項の和が80であることから、

$ar^3 + ar^5 = 80$

$ar^3(1+r^2) = 80$ ...(2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^3(1+r^2)}{ar(1+r^2)} = \frac{80}{20}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

初項が正であることより、公比も正である必要があるわけではない。

$r=2$のとき、(1)式より

$2a(1+4) = 20$

$10a = 20$

$a=2$

$r=-2$のとき、(1)式より

$-2a(1+4) = 20$

$-10a = 20$

$a = -2$

初項が正であるという条件に反するので、$r=-2$は不適。

よって、$a=2, r=2$

(2) 初項から第10項までの和 $S_{10}$ は、等比数列の和の公式より

$S_{10} = \frac{a(r^{10}-1)}{r-1}$

$S_{10} = \frac{2(2^{10}-1)}{2-1}$

$S_{10} = 2(1024-1)$

$S_{10} = 2(1023)$

$S_{10} = 2046$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 2, 公比: 2

(2) 初項から第10項までの和: 2046