3次正方行列 $A$ が、任意の3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ （$\alpha$はスカラー、$I$は単位行列）であることを示す問題です。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A$ が、任意の3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ （$\alpha$はスカラー、$I$は単位行列）であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$A$ を3次正方行列として、$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ とします。

まず、$X$として特定の行列を選び、条件 $AX = XA$ から $A$ の成分に関する情報を得ます。

(1) $X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の場合：

$AX = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 \\ 0 & a_{31} & 0 \end{pmatrix}$

$XA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$AX = XA$ より、

$\begin{pmatrix} 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 \\ 0 & a_{31} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{21} = 0$, $a_{22} = a_{11}$, $a_{23}=0$, $a_{31}=0$ が得られます。

同様に、$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすると、$a_{31} = 0$, $a_{32} = 0$, $a_{33} = a_{11}$ が得られます。

(2) $X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の場合：

$AX = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{12} & 0 & 0 \\ a_{22} & 0 & 0 \\ a_{32} & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$XA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$AX = XA$ より、

$\begin{pmatrix} a_{12} & 0 & 0 \\ a_{22} & 0 & 0 \\ a_{32} & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{12} = 0$, $a_{32} = 0$, $a_{22} = a_{11}$, $a_{12}=0$, $a_{13}=0$ が得られます。

同様に、$X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすると、$a_{13} = 0$, $a_{23} = 0$, $a_{33} = a_{11}$ が得られます。

これらの結果をまとめると、$A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} \end{pmatrix} = a_{11} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = a_{11} I$ となります。

3. 最終的な答え

$A = \alpha I$, where $\alpha = a_{11}$