$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta - \sin \theta \leq 0$ を解け。

## 問題1

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta - \sin \theta \leq 0$ を解け。

2. 解き方の手順

1. $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表す： $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$.

2. 不等式に代入する: $1 - 2\sin^2 \theta - \sin \theta \leq 0$.

3. 両辺に $-1$ を掛けて整理する: $2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 \geq 0$.

4. $x = \sin \theta$ とおくと、 $2x^2 + x - 1 \geq 0$.

5. 左辺を因数分解する: $(2x - 1)(x + 1) \geq 0$.

6. 不等式を満たす $x$ の範囲を求める: $x \leq -1$ または $x \geq \frac{1}{2}$.

7. $x = \sin \theta$ に戻す: $\sin \theta \leq -1$ または $\sin \theta \geq \frac{1}{2}$.

8. $\sin \theta \leq -1$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{3\pi}{2}$ のみ. なぜなら、$ \sin \theta$ の値域は $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ であるため.

9. $\sin \theta \geq \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める.

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

$\sin \theta \geq \frac{1}{2}$ であるのは、$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$ の範囲。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$.

## 問題2

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta < \sqrt{3} \cos \theta$ を解け。

2. 解き方の手順

1. $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を用いて不等式を書き換える: $2\sin \theta \cos \theta < \sqrt{3} \cos \theta$.

2. $\sqrt{3} \cos \theta$ を左辺に移項する: $2\sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos \theta < 0$.

3. $\cos \theta$ でくくる: $\cos \theta (2\sin \theta - \sqrt{3}) < 0$.

4. $\cos \theta$ と $(2\sin \theta - \sqrt{3})$ の符号を調べる.

* $\cos \theta > 0$ かつ $2\sin \theta - \sqrt{3} < 0$ のとき、つまり $\cos \theta > 0$ かつ $\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき.

* $\cos \theta < 0$ かつ $2\sin \theta - \sqrt{3} > 0$ のとき、つまり $\cos \theta < 0$ かつ $\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき.

5. $\cos \theta > 0$ となる $\theta$ の範囲は、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$.

6. $\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$.

7. $\cos \theta > 0$ かつ $\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$.

8. $\cos \theta < 0$ となる $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$.

9. $\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$.

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0. $\cos \theta < 0$ かつ $\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$.

1

1. 上記2つの範囲を合わせる。

3. 最終的な答え

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$.