$x = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$、 $x^2 + \frac{1}{x^2}$、 $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$、 $x^2 + \frac{1}{x^2}$、 $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分母の共役である $3 + 2\sqrt{2}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}$

$\frac{1}{x} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}$

$\frac{1}{x} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2}$

$\frac{1}{x} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8}$

$\frac{1}{x} = 3 + 2\sqrt{2}$

次に、$x + \frac{1}{x}$ を求めます。

$x + \frac{1}{x} = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})$

$x + \frac{1}{x} = 3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}$

$x + \frac{1}{x} = 6$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2}$

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (6)^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 36 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 34$

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3}$

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (6)^3 - 3(6)$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 216 - 18$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 198$

3. 最終的な答え

$x + \frac{1}{x} = 6$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 34$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 198$