与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、共通因数を見つけて因数分解を行います。

まず、式を展開します。

$$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$$

次に、式を整理して因数分解しやすい形にします。

$$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$$

$$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$$

$$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$$

$(b+c)$を共通因数としてくくりだします。

$$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$$

$$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$$

次に、$a^2 + ab + ac + bc$を因数分解します。

$$a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$$

したがって、与えられた式は次のように因数分解できます。

$$(b+c)(a+b)(a+c)$$

$$= (a+b)(b+c)(c+a)$$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$