$m \times n$ 行列 $A$ が任意の $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ に対して $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすための必要十分条件が $A = O$ であることを示す。ここで、$O$ はすべての要素が0である $m \times n$ のゼロ行列を表す。

1. 問題の内容

$m \times n$ 行列 $A$ が任意の $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ に対して $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすための必要十分条件が $A = O$ であることを示す。ここで、$O$ はすべての要素が0である $m \times n$ のゼロ行列を表す。

2. 解き方の手順

必要十分条件なので、$A = O \Rightarrow A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ と $A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow A = O$ の両方を示す必要がある。

(1) $A = O \Rightarrow A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の証明:

$A = O$ の場合、任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、$A\mathbf{x}$ はゼロ行列とベクトル $\mathbf{x}$ の積なので、結果はゼロベクトルとなる。したがって、$A = O$ ならば $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ が成り立つ。

(2) $A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow A = O$ の証明:

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ が任意の $\mathbf{x}$ に対して成り立つとする。ここで、$A$ の各列がゼロベクトルであることを示す必要がある。

$A$ の $j$ 列目を $\mathbf{a}_j$ と表し、$n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}_j$ を、第 $j$ 成分が1で、それ以外の成分がすべて0であるベクトルとする。つまり、

$$$$

\mathbf{x}_j = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}

$$$$

ここで1は $j$ 番目の成分である。

$A\mathbf{x}_j$ は、$A$ の列ベクトル $\mathbf{a}_j$ と一致する。

$$$$

A\mathbf{x}_j = \mathbf{a}_j

$$$$

仮定により、$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ が任意の $\mathbf{x}$ に対して成り立つので、$A\mathbf{x}_j = \mathbf{0}$ がすべての $j = 1, 2, \dots, n$ に対して成り立つ。

したがって、$\mathbf{a}_j = \mathbf{0}$ がすべての $j$ に対して成り立つ。

これは、$A$ のすべての列がゼロベクトルであることを意味するので、$A$ はゼロ行列である。つまり、$A = O$。

したがって、$A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Rightarrow A = O$ が示された。

3. 最終的な答え

$m \times n$ 行列 $A$ が任意の $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ に対して $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすための必要十分条件は $A = O$ である。