3次正方行列 $A$ が、すべての3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ (ここで $\alpha$ はスカラー、$I$ は3次の単位行列) であることを証明する。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A$ が、すべての3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ (ここで $\alpha$ はスカラー、$I$ は3次の単位行列) であることを証明する。

2. 解き方の手順

$A$ を3次正方行列、$E_{ij}$ を $(i,j)$ 成分が1で、それ以外の成分がすべて0である3次正方行列とする。仮定より、任意の3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ が成立する。特に $X = E_{ij}$ に対して、$AE_{ij} = E_{ij}A$ が成り立つ。

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ とおく。

(1) $X = E_{11}$ の場合:

$AE_{11} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$E_{11}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$AE_{11} = E_{11}A$ より、

$\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{12} = a_{13} = a_{21} = a_{31} = 0$

(2) $X = E_{22}$ の場合:

同様に、$AE_{22} = E_{22}A$ より、$a_{12}=a_{21} = a_{32}=a_{23} = 0$

(3) $X = E_{33}$ の場合:

同様に、$AE_{33} = E_{33}A$ より、$a_{13}=a_{31}= a_{23} = a_{32} = 0$

よって、$A$ は対角行列であり、$A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$ となる。

次に、$X = E_{12}$ の場合:

$AE_{12} = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$E_{12}A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$AE_{12} = E_{12}A$ より、

$\begin{pmatrix} 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{11} = a_{22}$

同様に、$X = E_{23}$ とすると、$a_{22} = a_{33}$ が得られる。

したがって、$a_{11} = a_{22} = a_{33} = \alpha$ とおくと、

$A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} = \alpha I$

3. 最終的な答え

$A = \alpha I$