初項 $a$ ($a \neq 0$)、公比 $r$ ($r \neq 0, r \neq 1$) の等比数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式 $T$ を $a, r, n$ を用いて表す。 $T = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$

1. 問題の内容

初項 $a$ ($a \neq 0$)、公比 $r$ ($r \neq 0, r \neq 1$) の等比数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式 $T$ を $a, r, n$ を用いて表す。

$T = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}$

2. 解き方の手順

まず、等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$a_n = a r^{n-1}$

次に、$\frac{1}{a_n}$ を求める。

$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a r^{n-1}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{r^{n-1}} = \frac{1}{a} (\frac{1}{r})^{n-1}$

$\frac{1}{a_n}$ は初項 $\frac{1}{a}$、公比 $\frac{1}{r}$ の等比数列である。

$T = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a} (\frac{1}{r})^{k-1} = \frac{1}{a} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{r})^{k-1}$

$T$ は初項 $\frac{1}{a}$、公比 $\frac{1}{r}$ の等比数列の和であるから、

$T = \frac{1}{a} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{r})^n}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1 - \frac{1}{r^n}}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{\frac{r^n - 1}{r^n}}{\frac{r - 1}{r}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{r^n - 1}{r^n} \cdot \frac{r}{r - 1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{r^n - 1}{r^{n-1}(r - 1)}$

$T = \frac{1}{a} \cdot \frac{1 - \frac{1}{r^n}}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{r(1 - \frac{1}{r^n})}{r - 1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{r - \frac{1}{r^{n-1}}}{r - 1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{r^{n} - 1}{r^{n-1}(r - 1)}$

3. 最終的な答え

$T = \frac{r^n - 1}{a r^{n-1} (r - 1)}$

または

$T = \frac{1}{a} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{r})^n}{1 - \frac{1}{r}}$