$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x+y$, $xy$ (2) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x+y$, $xy$

(2) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

したがって、

$x+y = (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}$

$xy = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1$

(2)

$x^2+y^2$を求めるために、$(x+y)^2$の展開を利用します。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$なので、$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$となります。

$x+y = 2\sqrt{5}$、$xy = 1$を代入すると、

$x^2+y^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(1) = 4 \times 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{5}$、 $xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 18$