与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、(3)から(6)の問題を順に解いていきます。

**(3) a²b + a² - b - 1**

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* $a^2$ を含む項と、それ以外の項に分けます。

$a^2b + a^2 - b - 1 = (a^2b + a^2) + (-b - 1)$

* それぞれのグループで共通因数をくくり出します。

$a^2(b + 1) - (b + 1)$

* 全体で共通因数 $(b+1)$ があるので、くくり出します。

$(a^2 - 1)(b + 1)$

* $(a^2 - 1)$ を因数分解します。これは $(a-1)(a+1)$ となります。

$(a - 1)(a + 1)(b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a - 1)(a + 1)(b + 1)$

**(4) a² + b² + bc - ca - 2ab**

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* $a$について整理します。

$a^2 - 2ab - ca + b^2 + bc$

$a^2 - (2b + c)a + (b^2 + bc)$

* 二次方程式の解の公式を利用することを考えますが、複雑になるため、平方完成を試みます。

$a^2 - 2ab + b^2 - ca + bc$

$(a - b)^2 - c(a - b)$

* 共通因数$(a-b)$でくくります。

$(a-b)(a-b-c)$

3. 最終的な答え

$(a - b)(a - b - c)$

**(5) 4 - 4y + 2xy - x²**

1. 問題の内容

与えられた式 $4 - 4y + 2xy - x^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* 項の順番を入れ替えて整理します。

$-x^2 + 2xy - 4y + 4$

* $x$を含む項とそれ以外の項に分けます。

$(-x^2 + 2xy) + (-4y + 4)$

* それぞれのグループで共通因数をくくり出します。

$-x(x - 2y) -4(y-1)$

* 項の並び順を変え、マイナスでくくると

$4 - 4y -x^2 + 2xy$

$4(1-y) + x(-x+2y)$

* さらに整理すると

$4 -4y + 2xy - x^2 = 4 - (x^2 -2xy +4y)$

$4- (x^2 -2xy + y^2 -y^2+4y)$

$4-(x-y)^2-4y+y^2)$

* $(2-x)(2+x)$の形にしたいが、ここから因数分解が難しいので、別の方法を考えます。

$4 - 4y + 2xy - x^2 = -(x^2-2xy+y^2) + y^2-4y + 4$

$=-(x-y)^2 + (y-2)^2$

$=(y-2+x-y)(y-2-(x-y))$

$=(x-2)(2y-x-2)$

3. 最終的な答え

$(x - 2)( -x + 2y - 2)$、または $-(2 - x)(x - 2y + 2)$

**(6) 4x²y - 4x²z + y²z - y³**

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

* $x$を含む項とそれ以外の項に分けます。

$(4x^2y - 4x^2z) + (y^2z - y^3)$

* それぞれのグループで共通因数をくくり出します。

$4x^2(y - z) - y^2(y - z)$

* 全体で共通因数 $(y-z)$ があるので、くくり出します。

$(4x^2 - y^2)(y - z)$

* $4x^2 - y^2$ を因数分解します。これは $(2x - y)(2x + y)$ となります。

$(2x - y)(2x + y)(y - z)$

3. 最終的な答え

$(2x - y)(2x + y)(y - z)$