与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n + 2}{a_n + 2}$ と初期条件 $a_1 = 0$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n + 2}{a_n + 2}$ と初期条件 $a_1 = 0$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式の極限値を求める。$a_n$ がある値 $\alpha$ に収束すると仮定すると、

$a_{n+1} \to \alpha$、$a_n \to \alpha$ となるので、漸化式は

$\alpha = \frac{3\alpha + 2}{\alpha + 2}$

となる。これを解いて極限値 $\alpha$ を求める。

$\alpha(\alpha + 2) = 3\alpha + 2$

$\alpha^2 + 2\alpha = 3\alpha + 2$

$\alpha^2 - \alpha - 2 = 0$

$(\alpha - 2)(\alpha + 1) = 0$

$\alpha = 2, -1$

ここで、数列の初期値が$a_1 = 0$なので、全ての$n$に対して、$a_n > -2$が予想される。したがって、極限値として$\alpha=2$が適切である。

次に、$b_n = \frac{a_n - 2}{a_n + 1}$ とおくと、

$a_n = \frac{1+2b_n}{1-b_n}$

これを与えられた漸化式に代入すると、

$a_{n+1} = \frac{3a_n + 2}{a_n + 2}$

$\frac{1+2b_{n+1}}{1-b_{n+1}} = \frac{3(\frac{1+2b_n}{1-b_n}) + 2}{\frac{1+2b_n}{1-b_n} + 2} = \frac{3(1+2b_n)+2(1-b_n)}{1+2b_n+2(1-b_n)} = \frac{5+4b_n}{3}$

$3(1+2b_{n+1}) = (1-b_{n+1})(5+4b_n)$

$3+6b_{n+1} = 5+4b_n-5b_{n+1}-4b_nb_{n+1}$

$11b_{n+1} = 2+4b_n-4b_nb_{n+1}$

別の変数変換として、$x_n = a_n - 2$とおいてみると

$a_n = x_n + 2$

$a_{n+1} = x_{n+1} + 2$

$x_{n+1} + 2 = \frac{3(x_n+2)+2}{x_n+2+2} = \frac{3x_n+8}{x_n+4}$

$x_{n+1} = \frac{3x_n+8}{x_n+4} - 2 = \frac{3x_n+8-2x_n-8}{x_n+4} = \frac{x_n}{x_n+4}$

$x_1 = a_1 - 2 = -2$

$\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{x_n+4}{x_n} = 1 + \frac{4}{x_n}$

$\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} = \frac{4}{x_n}$　<-明らかに違う。

$\frac{1}{x_{n+1}} = 1+\frac{4}{x_n}$

$\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n} + 1$

数列$\{\frac{1}{x_n}\}$は初項$\frac{1}{x_1} = \frac{1}{-2}$、公差$1$の等差数列である。

$\frac{1}{x_n} = \frac{1}{-2} + (n-1) = n-\frac{3}{2} = \frac{2n-3}{2}$

$x_n = \frac{2}{2n-3}$

$a_n = x_n + 2 = \frac{2}{2n-3} + 2 = \frac{2+2(2n-3)}{2n-3} = \frac{4n-4}{2n-3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4n-4}{2n-3}$