$x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2$

次に、$x+y$ を計算します。

$x + y = (\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} - 2 = 2\sqrt{5}$

最後に、$xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

3. 最終的な答え

$x + y = 2\sqrt{5}$

$xy = 1$