二次関数 $y = x^2 + 2x + 3$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 + 2x + 3$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x + 3$

$y = (x^2 + 2x + 1) + 3 - 1$

$y = (x+1)^2 + 2$

この式から、頂点の座標は $(-1, 2)$ であることがわかります。また、このグラフは下に凸の放物線です。

次に、定義域 $-2 \le x \le 2$ の範囲で最大値と最小値を考えます。

頂点のx座標である $x = -1$ は定義域に含まれています。したがって、$x = -1$ で最小値をとります。最小値は $y = (-1+1)^2 + 2 = 2$ です。

最大値は、定義域の端点 $x = -2$ または $x = 2$ のどちらかでとります。それぞれの$y$の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$

したがって、$x = 2$ で最大値をとります。最大値は $y = 11$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 11

最小値: 2