$P(x) = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3$ と $Q(x) = 3x^5 + 2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 2x + 3$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) $Q(x)$ を $P(x)$ の式で表してください。 (2) 方程式 $Q(x) = 0$ を解いてください。

1. 問題の内容

$P(x) = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3$ と $Q(x) = 3x^5 + 2x^4 - 5x^3 - 5x^2 + 2x + 3$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) $Q(x)$ を $P(x)$ の式で表してください。

(2) 方程式 $Q(x) = 0$ を解いてください。

2. 解き方の手順

(1) $Q(x)$ を $P(x)$ の式で表す。

$Q(x)$ を $x$ で括り出すと、

$Q(x) = x(3x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 5x + 2) + 3$

$P(x) = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3$ より、

$3x^4 = P(x) + x^3 + 4x^2 + x - 3$

これを $Q(x)$ に代入すると、

$Q(x) = x(P(x) + x^3 + 4x^2 + x - 3 + 2x^3 - 5x^2 - 5x + 2) + 3$

$Q(x) = x(P(x) + 3x^3 - x^2 - 4x - 1) + 3$

$3x^3 - x^2 - 4x - 1 = x(3x^2 - x - 4) - 1$

ここで、$P(x)$ を $x$ で微分すると、$P'(x) = 12x^3 - 3x^2 - 8x - 1$ となり、これを利用して$Q(x)$を求めるのは困難です。

そこで、$Q(x)$を$P(x)$で割ってみます。

$$\begin{array}{c|ccccc} \multicolumn{2}{r}{x+1} \\ \cline{2-6} 3x^4-x^3-4x^2-x+3 & 3x^5&+2x^4&-5x^3&-5x^2&+2x&+3 \\ \multicolumn{2}{r}{3x^5}&-x^4&-4x^3&-x^2&+3x \\ \cline{2-6} \multicolumn{2}{r}{0}&3x^4&-x^3&-4x^2&-x&+3 \\ \multicolumn{2}{r}{}&3x^4&-x^3&-4x^2&-x&+3 \\ \cline{3-7} \multicolumn{2}{r}{}&0&0&0&0&0 \\ \end{array}$$

したがって、$Q(x) = (x+1)P(x)$ となります。

(2) 方程式 $Q(x) = 0$ を解く。

$Q(x) = (x+1)P(x) = 0$ より、

$x+1=0$ または $P(x)=0$ となります。

したがって、$x = -1$ は解の一つです。

$P(x) = 3x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 3 = 0$

$P(x)$ は相反方程式である。

$x^2$ で割ると

$3x^2 - x - 4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} = 0$

$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$

$t = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ となるので、

$3(t^2 - 2) - t - 4 = 0$

$3t^2 - 6 - t - 4 = 0$

$3t^2 - t - 10 = 0$

$(3t + 5)(t - 2) = 0$

$t = -\frac{5}{3}, 2$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{3}$ のとき、$3x^2 + 5x + 3 = 0$ となり、$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 36}}{6} = \frac{-5 \pm i\sqrt{11}}{6}$

$x + \frac{1}{x} = 2$ のとき、$x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x-1)^2 = 0$ よって $x=1$

したがって、$Q(x) = 0$ の解は $x = -1, 1, \frac{-5 \pm i\sqrt{11}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $Q(x) = (x+1)P(x)$

(2) $x = -1, 1, \frac{-5 \pm i\sqrt{11}}{6}$