2次不等式 $m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$ の解がすべての実数となるように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次不等式 $m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$ の解がすべての実数となるように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$

$mx + 2m > -x^2 - 2x - 1$

$x^2 + (m+2)x + (2m+1) > 0$

この2次不等式の解がすべての実数であるためには、2次関数 $y = x^2 + (m+2)x + (2m+1)$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。つまり、$x^2$ の係数が正（ここでは1で正）であり、判別式 $D$ が負である必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = (m+2)^2 - 4(2m+1) < 0$

$m^2 + 4m + 4 - 8m - 4 < 0$

$m^2 - 4m < 0$

$m(m-4) < 0$

この不等式を解くと、$0 < m < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < m < 4$