問題は3つあります。 問題160: 複素数平面上の点 $z$ をある角度で回転させた点が与えられているとき、元の点 $z$ をどのように回転させたのかを答える問題です。 (1) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ (2) $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ (3) $z = -i$ 問題161: 複素数平面上の点 $z$ をある変換で移動させた点が与えられているとき、元の点 $z$ をどのように変換したのかを答える問題です。 (1) $z = (1-i)z$ (2) $z = (-1+\sqrt{3}i)z$ 問題162: 複素数 $z = 6+2i$ が与えられているとき、原点を中心として以下の角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。 (1) $\frac{\pi}{4}$ (2) $-\frac{\pi}{3}$ (3) $\frac{\pi}{2}$ (4) $\frac{5}{6}\pi$

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題160: 複素数平面上の点 $z$ をある角度で回転させた点が与えられているとき、元の点 $z$ をどのように回転させたのかを答える問題です。

(1) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

(2) $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(3) $z = -i$

問題161: 複素数平面上の点 $z$ をある変換で移動させた点が与えられているとき、元の点 $z$ をどのように変換したのかを答える問題です。

(1) $z = (1-i)z$

(2) $z = (-1+\sqrt{3}i)z$

問題162: 複素数 $z = 6+2i$ が与えられているとき、原点を中心として以下の角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $-\frac{\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{2}$

(4) $\frac{5}{6}\pi$

2. 解き方の手順

問題160：

複素数の回転は、複素数を極形式で表すことによって理解しやすくなります。複素数 $z = a+bi$ を極形式で表すと $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ となります。ここで $r = \sqrt{a^2+b^2}$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。

(1) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$

$\theta = \arctan(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}) = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$

したがって、$\frac{\pi}{6}$ 回転させた点である。

(2) $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$

$\theta = \arctan(\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

したがって、$-\frac{\pi}{3}$ 回転させた点である。

(3) $z = -i$

これは極形式で $z = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})$ と表せるので、$-\frac{\pi}{2}$ 回転させた点である。

問題161：

(1) $z = (1-i)z$

$1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

したがって、$\sqrt{2}$ 倍して $-\frac{\pi}{4}$ 回転させた点である。

(2) $z = (-1+\sqrt{3}i)z$

$-1+\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$

したがって、2倍して $\frac{2\pi}{3}$ 回転させた点である。

問題162：

複素数 $z$ を $\theta$ 回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けます。

(1) $\frac{\pi}{4}$ 回転

$(6+2i)(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = (6+2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i + \sqrt{2}i - \sqrt{2} = (2\sqrt{2}) + (4\sqrt{2})i$

(2) $-\frac{\pi}{3}$ 回転

$(6+2i)(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = (6+2i)(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 3 - 3\sqrt{3}i + i + \sqrt{3} = (3+\sqrt{3}) + (1-3\sqrt{3})i$

(3) $\frac{\pi}{2}$ 回転

$(6+2i)(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = (6+2i)(i) = 6i - 2 = -2 + 6i$

(4) $\frac{5\pi}{6}$ 回転

$(6+2i)(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = (6+2i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = -3\sqrt{3} + 3i - \sqrt{3}i - 1 = (-3\sqrt{3}-1) + (3-\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

問題160：

(1) $\frac{\pi}{6}$ 回転

(2) $-\frac{\pi}{3}$ 回転

(3) $-\frac{\pi}{2}$ 回転

問題161：

(1) $\sqrt{2}$ 倍して $-\frac{\pi}{4}$ 回転

(2) 2倍して $\frac{2\pi}{3}$ 回転

問題162：

(1) $(2\sqrt{2}) + (4\sqrt{2})i$

(2) $(3+\sqrt{3}) + (1-3\sqrt{3})i$

(3) $-2 + 6i$

(4) $(-3\sqrt{3}-1) + (3-\sqrt{3})i$