次の式を因数分解せよ。 (1) $x^2 - x + \frac{1}{4}$ (2) $8ab - 2a^2 - 8b^2$ (3) $8x^3y - 98xy^3$ (4) $a^2b^2 + 2ab - 3$ (5) $x^3 - x^2y - 30xy^2$ (6) $(2m - 3n)^2 - (m - n)^2$

はい、承知いたしました。指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^2 - x + \frac{1}{4}$

(2) $8ab - 2a^2 - 8b^2$

(3) $8x^3y - 98xy^3$

(4) $a^2b^2 + 2ab - 3$

(5) $x^3 - x^2y - 30xy^2$

(6) $(2m - 3n)^2 - (m - n)^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x + \frac{1}{4}$

これは、$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ の形であることに気づきます。

$x^2 - x + \frac{1}{4} = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (x - \frac{1}{2})^2$

(2) $8ab - 2a^2 - 8b^2$

まず、$-2$ でくくり出すと $-2(a^2 - 4ab + 4b^2)$ となります。

括弧の中は、$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ の形なので、$-2(a - 2b)^2$ となります。

(3) $8x^3y - 98xy^3$

共通因数 $2xy$ でくくり出すと、$2xy(4x^2 - 49y^2)$ となります。

括弧の中は、$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の形なので、$2xy(2x + 7y)(2x - 7y)$ となります。

(4) $a^2b^2 + 2ab - 3$

$ab = t$ とおくと、$t^2 + 2t - 3$ となります。

これは、$(t + 3)(t - 1)$ と因数分解できます。

$t$ を $ab$ に戻すと、$(ab + 3)(ab - 1)$ となります。

(5) $x^3 - x^2y - 30xy^2$

共通因数 $x$ でくくり出すと、$x(x^2 - xy - 30y^2)$ となります。

括弧の中は、$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$ の形なので、$x(x - 6y)(x + 5y)$ となります。

(6) $(2m - 3n)^2 - (m - n)^2$

$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形なので、

$((2m - 3n) + (m - n))((2m - 3n) - (m - n)) = (3m - 4n)(m - 2n)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{1}{2})^2$

(2) $-2(a - 2b)^2$

(3) $2xy(2x + 7y)(2x - 7y)$

(4) $(ab + 3)(ab - 1)$

(5) $x(x - 6y)(x + 5y)$

(6) $(3m - 4n)(m - 2n)$