次の式を因数分解します。 (1) $4x^4 + 32xy^3$ (2) $x^6 + 1$ (3) $x^6 - y^6$

1. 問題の内容

次の式を因数分解します。

(1) $4x^4 + 32xy^3$

(2) $x^6 + 1$

(3) $x^6 - y^6$

2. 解き方の手順

(1) $4x^4 + 32xy^3$

共通因数でくくります。

$4x(x^3 + 8y^3)$

$8y^3 = (2y)^3$ なので、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。

$4x(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

(2) $x^6 + 1$

$x^6 = (x^2)^3$と考えると、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用できます。

$(x^2)^3 + 1^3 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$

$x^4 - x^2 + 1$ を変形します。

$x^4 + 2x^2 + 1 - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$

これは有理数の範囲では因数分解できないので、$(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$ が答えになります。

$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$

また、$x^6 + 1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$を変形すると

$x^6 + 1 = (x^2+1)(x^4 + 2x^2 + 1 -3x^2) = (x^2+1)((x^2+1)^2 - (\sqrt{3}x)^2)$

$= (x^2+1)(x^2+1 - \sqrt{3}x)(x^2+1 + \sqrt{3}x)$

別の考え方として、$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1) = (x^2+1)(x^4 +2x^2 +1 -3x^2)$

$= (x^2+1)((x^2+1)^2 - (\sqrt{3}x)^2)= (x^2+1)(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x)$

また、$x^6+1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$

$x^6+1 = (x^6 + 2x^3 +1 -2x^3) = (x^3+1)^2 - (\sqrt{2}x^{3/2})^2$ と変形できますが、

この問題は有理数の範囲での因数分解を求めていると思われるので、$x^4 - x^2 + 1$ を因数分解する必要はありません。

(3) $x^6 - y^6$

これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ および $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用できます。

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、

$(x^3 + y^3)(x^3 - y^3) = (x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

$= (x+y)(x-y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

$= (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

また、 $x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

3. 最終的な答え

(1) $4x(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

(2) $(x^2+1)(x^4 - x^2 + 1)$

(3) $(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ あるいは $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$