次の式を因数分解してください。 (1) $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$ (2) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ (3) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ (4) $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

はい、承知いたしました。4つの問題すべてを解きます。

1. 問題の内容

次の式を因数分解してください。

(1) $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$

(2) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$

(3) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

(4) $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20$ を因数分解します。まず、項をグループ化します。

$x^2(x - 5) - 4(x - 5)$

共通因子 $(x - 5)$ を取り出します。

$(x^2 - 4)(x - 5)$

$x^2 - 4$ は $(x - 2)(x + 2)$ と因数分解できます。

したがって、$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = (x - 2)(x + 2)(x - 5)$

(2)

$x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を因数分解します。因数定理を使用します。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ とします。

$f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 6(2) - 8 = 8 - 12 + 12 - 8 = 0$ であるため、$x - 2$ は因数です。

筆算または組み立て除法を使用して、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を $(x - 2)$ で割ります。

```

x^2 - x + 4

x - 2 | x^3 - 3x^2 + 6x - 8

-(x^3 - 2x^2)

----------------

-x^2 + 6x

-(-x^2 + 2x)

----------------

4x - 8

-(4x - 8)

----------------

0

```

$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x - 2)(x^2 - x + 4)$

判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0$ であるため、$x^2 - x + 4$ は実数で因数分解できません。

したがって、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x - 2)(x^2 - x + 4)$

(3)

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ を因数分解します。これは $(x + 1)^3$ の展開形です。

$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

したがって、$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$

(4)

$27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$ を因数分解します。これは $(3a - b)^3$ の展開形です。

$(3a - b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2b + 3(3a)b^2 - b^3 = 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

したがって、$27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3 = (3a - b)^3$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)(x + 2)(x - 5)$

(2) $(x - 2)(x^2 - x + 4)$

(3) $(x + 1)^3$

(4) $(3a - b)^3$