$\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$, $\beta = 4 - 3i$ のとき、次の値を求めます。 (1) $|\alpha|^4$ (2) $|\alpha \beta^2|$ (3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$ (4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$, $\beta = 4 - 3i$ のとき、次の値を求めます。

(1) $|\alpha|^4$

(2) $|\alpha \beta^2|$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha|^4$ を求めます。

$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$

$|\alpha|^4 = 3^4 = 81$

(2) $|\alpha \beta^2|$ を求めます。

$|\beta| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$|\beta^2| = |\beta|^2 = 5^2 = 25$

$|\alpha \beta^2| = |\alpha| |\beta^2| = 3 \times 25 = 75$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$ を求めます。

$|\alpha \beta| = |\alpha| |\beta| = 3 \times 5 = 15$

$|\frac{1}{\alpha \beta}| = \frac{1}{|\alpha \beta|} = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$ を求めます。

$|\alpha^3| = |\alpha|^3 = 3^3 = 27$

$|\beta^2| = |\beta|^2 = 5^2 = 25$

$|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^3|} = \frac{25}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha|^4 = 81$

(2) $|\alpha \beta^2| = 75$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}| = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{25}{27}$