$a$ を0以上の整数とし、$x$ の不等式 $|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2a+1}{10}$ について考える。 (i) $a=2$ のとき、この不等式を満たす整数 $x$ を求めよ。 (ii) この不等式を満たす奇数 $x$ がちょうど2個である整数 $a$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を0以上の整数とし、$x$ の不等式 $|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2a+1}{10}$ について考える。

(i) $a=2$ のとき、この不等式を満たす整数 $x$ を求めよ。

(ii) この不等式を満たす奇数 $x$ がちょうど2個である整数 $a$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $a=2$ のとき、不等式は $|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2(2)+1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ となる。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、$2\sqrt{3} \approx 3.464$ である。

よって、 $|x - 3.464| < 0.5$ となる。

これは $-0.5 < x - 3.464 < 0.5$ と同値である。

各辺に $3.464$ を足すと、$2.964 < x < 3.964$ となる。

この範囲にある整数 $x$ は $3$ のみである。

(ii) 不等式 $|x - 2\sqrt{3}| < \frac{2a+1}{10}$ を変形すると、$-\frac{2a+1}{10} < x - 2\sqrt{3} < \frac{2a+1}{10}$ となる。

各辺に $2\sqrt{3}$ を足すと、$2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < x < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10}$ となる。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、$2\sqrt{3} \approx 3.464$ である。

したがって、$3.464 - \frac{2a+1}{10} < x < 3.464 + \frac{2a+1}{10}$ となる。

この範囲に含まれる奇数 $x$ がちょうど2個である $a$ の個数を求める。

$x$ が奇数なので、$x = 1, 3, 5, 7, \dots$ である。

$x$ が2個の奇数を含むのは、$x = 1, 3$ または $x = 3, 5$ の場合である。

$x = 1, 3$ を含むためには、

$3.464 - \frac{2a+1}{10} < 1 < 3.464 + \frac{2a+1}{10}$ かつ $3.464 - \frac{2a+1}{10} < 3 < 3.464 + \frac{2a+1}{10}$ でなければならない。

また、$3.464 - \frac{2a+1}{10} \geq -1$ かつ $3.464 + \frac{2a+1}{10} < 5$ でなければならない。

$2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < 1 < 3 < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10} < 5$

$3.464 - \frac{2a+1}{10} < 1$ より、$2.464 < \frac{2a+1}{10}$ つまり $24.64 < 2a+1$ より $23.64 < 2a$ つまり $11.82 < a$

$2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10} < 5$ より、$\frac{2a+1}{10} < 5 - 2\sqrt{3} = 5 - 3.464 = 1.536$ つまり $2a+1 < 15.36$ より $2a < 14.36$ つまり $a < 7.18$

しかし、これはありえないので、別の範囲を考える。

$2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < 3 < 5 < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10} < 7$

$3.464 - \frac{2a+1}{10} < 3$ より、$0.464 < \frac{2a+1}{10}$ つまり $4.64 < 2a+1$ より $3.64 < 2a$ つまり $1.82 < a$

$3.464 + \frac{2a+1}{10} < 5$ より、$\frac{2a+1}{10} < 1.536$ つまり $2a+1 < 15.36$ より $2a < 14.36$ つまり $a < 7.18$

$a = 2, 3, 4, 5, 6, 7$

$2\sqrt{3} - \frac{2a+1}{10} < 5 < 7 < 2\sqrt{3} + \frac{2a+1}{10}$

$3.464 - \frac{2a+1}{10} < 5$ より、$-1.536 < \frac{2a+1}{10}$ つまり $-15.36 < 2a+1$ より $-16.36 < 2a$

$3.464 + \frac{2a+1}{10} < 7$ より、$\frac{2a+1}{10} < 3.536$ つまり $2a+1 < 35.36$ より $2a < 34.36$ つまり $a < 17.18$

$a = 0, 1, 2, \dots, 17$

奇数xは5,7のみ

奇数解が2個のとき、aの個数は4個

3. 最終的な答え

(i) キ: 1

(ii) ク: 4